רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות

λ = 0 A. F n n ערך עצמי של A אם ורק אם A לא הפיכה..det(λ I ערך עצמי של λ F.A F n n n A) = 0 אם ורק אם: A v וקטור עצמי של Tהמתאים יהי T: V V אופרטור לינארי. אם λ F ערך עצמי של,T לערך העצמי λ, אזי λ הוא גם ערך עצמי של λ. לערך העצמי וקטור עצמי של Aהמתאים [v] B B, ביחס לבסיס T המטריצה המייצגת של A, V.A F n n הוא תת מרחב וקטורי יהי λ F ערך עצמי של A. אז: המרחב העצמי λ של.F n יהי :T V V אופרטור לינארי. יהי λ F ערך עצמי של T. אז: המרחב העצמי V λ הוא תת מרחב וקטורי של V. כפל עמודה - עמודה: ינה A n m, B m k מטריצות. אז: (B) C i (A B) = A C i לכל.1 i k.a e i = C i (A) אז:. e i = 0 1 נסמן: ( 0) יהי A n n הפיכה. נסמן ) n.a = (v 1 v אז: 1 i n : A 1 v i = e i. דמיון מטריצות הינו יחס שקילות. T: V V אופרטור לינארי. יהיו B B, שני בסיסים ל.V יהיו A A, שתי מטריצות מייצגות של T ביחס לבסיסים B,B בהתאמה. P מטריצת המעבר בין הבסיסים B ו -.A = P 1 A P אז:.B מחלקת שקילות של יחס הדמיון הן כל המטריצות המייצגות את אותה העתקה. לכסון מטריצות יכול להיות יעיל בחישוב חזקה של גדולה של מטריצה. תכונות של מטריצות דומות: יהיו (F) A, A M n כך ש:.A ~A מתקיים:.det(A) = det (A ).p A (x) = p A (x) למטריצות דומות יש אותה דרגה. למטריצות דומות יש אותם ערכים עצמיים. אם A n n לכסינה, אזי יש לה n ערכים עצמיים )ייתכן שחלקם שווים(. קריטריון כללי ללכסון מטריצה: מטריצה F n קיים בסיס A n n לכסינה אם ורק אם במרחב P. איברי בסיס זה הינם עמודות של מטריצה מלכסנת A. המורכב מווקטורים עצמיים של B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 11 12 13 14 15 16 17 1

קריטריון כללי ללכסון אופרטור: אופרטור :T V V ניתן ללכסון במרחב V קיים בסיס T. המורכב מווקטורים עצמיים של B אם :T V V אופרטור ליניארי, אז ניתן להגדיר את הפולינום האופייני שלו. A n n מטריצה כלשהי. מתקיים:.deg p A (x) = n (x) p A הינו פולינום מתוקן. אם p A (x) = x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 אזי:.a 0 = ( 1) n det(a), a n 1 = tr(a) ע"ע = tr(a) )כולל ריבוי אלגברי(. ע"ע = det(a) )כולל ריבוי אלגברי(. rank(a) = n ריבוי גאומטרי של ערך עצמי 1. אם f(x) g(x), פולינומים, deg g(x) = m אזי קיימים פולינומים r(x) q(x), כך ש-.r או 0 deg r < m כך ש f(x) = q(x)g(x) + r(x) משפט :bezout אם a הוא שורש של פולינום f, אזי f(x) מתחלק ל - a x ללא שארית, ז"א: a). f(x) = q(x) (x.a F n n יהי λ F ערך עצמי של.A מתקיים: k λ n.1.a F n n יהי λ F ערך עצמי של.A מתקיים: m λ n.1.k מתקיים:.A ערך עצמי של λ F יהי.A F n n λ m λ ווקטורים עצמיים המתאימים לערכים עצמיים שונים הם בלתי תלויים לינארית. A. F n n אם ל - A יש n ערכים עצמיים שונים, אזי A לכסינה. A מתפרק למכפלה של גורמים ליניאריים. אזי: p מטריצה כך ש- A F n n A (x) לכסינה לכל ערך עצמי λ F של A מתקיים.m λ = k λ A. F n n אם A לכסינה, אזי בהכרח p מתפרקת לחלוטין. A (x) λ F ניתן ללכסון לכל ערך עצמי T מתפרק לחלוטין. אזי: p T (x) יהי T: V V כך ש- של T מתקיים.m λ = k λ יהי C F. = אזי, מתקיים המשפט היסודי של אלגברה: כל פולינום מעל המרוכבים מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים. מטריצה משולשת עליונה דומה למטריצה משולשת תחתונה. p A F n n קריטריון שילוש: מטריצה ניתנת לשילוש אם ורק אם הפולינום האופייני (x) A מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים. כל מספר חיובי ניתן להצגה יחידה,n = p 1 p 2 p s כש- p i מספרים ראשוניים. כל פולינום f(x) ניתן להצגה יחידה,f = p 1 p 2 p s כש- p i פולינומים אי פריקים. לכל m, n קיימים מספרים q, r כך ש-,m = q n + r כש- < r < n 0 או = 0.r 18 19 21 21 22 23 24 52 26 27 28 29 31 31 32 33 34 35 36 37 38 39 2

לכל f, g קיימים פולינומים q, r כך ש-,f = q g + r כש- g deg r < deg או 0.r לכל מטריצה קיים פולינום מאפס..p A F n n מטריצה ריבועית. מתקיים A (A) = 0 matrix משפט קיילי המילטון: לכל מטריצה קיים פולינום מינימלי יחיד..m מתקיים:.A F n n A (x) p A (x) A.. F n n יהי f(x) פולינום מאפס ל - A. אז: לפולינום האופייני p מתקיים: A (x).p A (x) [f(x)] n.p מתקיים:.A F n n A (x) [m A (x)] n A. הם הערכים העצמיים של m של A.השורשים F n n A (x) A n n מטריצה כך שיש לה n ערכים עצמיים שונים.λ 1,, λ n אז: ) n.m A (x) = p A (x) = (x λ 1 ) (x λ A. F n n הפולינום המינימלי מחלק כל פולינום שמתאפס ב - A. נניח ש - A,A מטריצות ריבועיות דומות. יהי f(x) פולינום מאפס ל - A. אז: f(x) פולינום מאפס גם ל - A. למטריצות דומות יש אותו פולינום מינימלי. A מטריצה אלכסונית בלוקים. יהיו (x) p 1 (x), p 2 (x),, p s פולינומים אופייניים של A 1,, A s ו - (x) m 1 (x),, m s פולינומים מינימליים שלהן. אזי לפולינום האופייני (x) p A ולפולינום המינימלי (x) m A של A מתקיימים השוויונות הבאים:.p A (x) = p 1 (x) p s (x).m A (x) = l. c. m(m 1 (x),, m s (x)) יהי K שדה ויהי K[x] R = חוג פולינומים )נתבונן בשתי פעולות חיבור,, וכפל, ( במשתנה אחד. אזי מתקיים: האיברים ההפיכים ב - R הינם פולינומים קבועים )שונים מאפס( )כלומר, חוג דומה לשדה, פרט לתכונה לפיה לכל איבר שונה מאפס קיים איבר הופכי(..)f g אזי = 0,f 0, g אין מחלקי אפס )כלומר, אם 0 R = K[x] - ב כל פולינום מתפרק למכפלה של פולינומים אי פריקים, והצגה זו יחידה, במובן הבא: לכל פולינום f קיימת הצגה בצורה,f = u g 1 g n כך ש u פולינום הפיך )פולינום קבוע עפ"י ההערה לעיל( ו - n g 1,, g פולינומים אי פריקים, ואם f = u h 1 h m הצגה נוספת u ( הפיך ו m h 1,, h אי פריקים(, אזי: n = m ומתקיים g i = h i )עד כדי שינוי סדר של גורמים(. יהיו a, b פולינומים. אז: b) g. c. d(a, קיים ויחיד. 41 41 42 43 44 45 46 47 48 49 51 51 52 53 54 55 3

יהיו a, b פולינומים. יהי b).d = g. c. d(a, אזי קיימים u, v R כך שמתקיים:.d = au + bv לכן, אם = 1 d a, b( זרים( אזי קיימים u, v R כך ש- 1 = bv.au + יהיו a, b, c פולינומים. אם a bc ואם = 1 b) g. c. d(a, אזי.a c יהיו,b c פולינומים. יהי p פולינום אי פריק. אזי, אם: p bc אז: p b או.p c לפולינומים במשתנה אחד מעל שדה, מתקיים פירוק יחיד. ז"א, אם: m = n פולינומים אי פריקים, אזי q 1,, q n,p 1,, p m - כש f = p 1 p m = q 1 q n ולכל p i = q i i, )עד כדי כפל בקבוע ושינוי סדר של גורמים(. בעזרת פירוק יחיד, ניתן לנמק את הטענה הבאה: כל השורשים של הפולינום המינימלי של מטריצה A, הם הערכים העצמיים של A. אם F, = C אזי הפולינומים האי פריקים הם פולינומים לינאריים בלבד. אם F, = R אזי הפולינומים האי פריקים הם פולינומים לינאריים או פולינומים ריבועיים )ממעלה 2( בלבד. אם F = Q או F שדה סופי, אזי קיימים אינסוף פולינומים אי פריקים, ויש פולינומים אי פריקים ממעלה כלשהי. יהיו,A B מטריצות ריבועיות. אזי: {ע"ע של A }. {ע"ע של B } = {ע"ע של A B }.det(a B) = det(a) det (B).p A B = p A p B.A B B משפט ז'ורדן: A n n מטריצה ריבועית. נניח שהפולינום האופייני (x) p A מתפרק 56 57 58 59 61 61 62 63 64 65 למכפלה של גורמים לינאריים. אזי A דומה למטריצה J בצורה הבאה: J ni הוא תא ז'ורדן, (λ i ) כשכל בלוק. J = λ i ( J n1 (λ 1 ) 0 0 0 0 0 0 J nt (λ t )) λ i 1 0 0 0 1( i, n 0 כלומר: 1 ( 0 0 λ i) ni n i בנוסף, המטריצה J היא יחידה )עד כדי סדר של הבלוקים(. ל J קוראים צורת הז'ורדן של A. לא בהכרח שונים אחד מהשני(. 4

66 אם :T V V אופרטור לינארי כך ש - (x) p T מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים, אזי קיים בסיס של B כך שהמטריצה המייצגת A = [T] B היא מטריצת ז'ורדן J. קוראים ל - B בסיס מז'רדן. J יחידה עד כדי שינוי סדר הבלוקים. p A (x) J צורת הז'ודרן של מטריצה A. נניח ש מתפרק לגורמים לינאריים. נסמן 67 λ 1,, λ s כל הערכים העצמיים השונים של.A אזי: לכל A, i הריבוי האלגברי שלו k i שווה לסכום הגדלים של כל הבלוקים המכילים את.λ i לכל A, i הריבוי הגיאומטרי שלו m i שווה למספר הבלוקים המכילים את λ. i לפולינום המינימלי (x) m A מתקיים:,m A (x) = (x λ 1 ) d 1 (x λ s ) d s כש- אם λ. i הינו הגודל המקסימלי של הבלוק המכיל את d i A n n ניתנת ללכסון, אזי בצורת ז'ורדן שלה יהיו בלוקים מגודל 1 1..m A (x) = (x λ 1 ) (x λ s ) לכסינה אם ורק אם A n n 68 69.F = { R /F יהי V מרחב וקטורי. C 71 יהי, v, w F כך,w נגדיר, לכל זוג וקטורים,v, w V את המכפלה הפנימית של v על שמתקיימים התנאים הבאים: 1.5 לינאריות )Sesquilinear(.< α 1 v 1 + α 2 v 2, w > = α 1 < v 1, w > + α 2 < v 2, w > 1. < v, β 1 w 1 + β 2 w 2 > = β 1 < v, w 1 > + β 2 < v, w 2 >.v = 0 γ 1 הרמטיות )Hermite(.< v, w > = < w, v > אי שליליות )או חיוביות( < v, v > = 0,< v, v > R 0 2 3. V = C n = {( )} γ n γ i C מכפלה פנימית סטנדרטית ב - n F: יהי γ 1. v, w = γ 1 γ 1 + + γn γ n אז, v = ( נגדיר: אם ) ( = w, ) γ n γ n γ 1. היא מכפלה פנימית..V = M יהי :F m n m n (F) מכפלה פנימית סטנדרטית ב - 71 72 5

נגדיר: אם,A, B V אז B ). A, B = tr(a t. היא מכפלה פנימית. תכונות של נורמה: יהי V מרחב מכפלה פנימית. אזי, נורמה. המושרית ממכפלה פנימית,. מקיימת:. αv = α v :α F לכל,v V הומוגניות: לכל.v = 0 v = 0 - ו 0 v :v V אי שליליות: לכל אי שוויון המשולש: לכל. v + w v + w :v, w V משפט פיתגורס: יהי V מרחב מכפלה פנימית.. יהיו.v, w V אם > = 0 w,< v, אז:. v + w 2 = v 2 + w 2 אי שוויון קושי בוניאקובסקי שוורץ: יהי V מרחב מכפלה פנימית. יהיו,v. w V אזי:. v, w v w.1 73 74 75 w.2 v, w v, w = v תלויים לינארית. 76 אי שוויון המשולש: יהי V מרחב מכפלה פנימית. לכל v, w V מתקיים: w v +. v + w בנוסף, מתקיים שוויון אם ורק אם w, = α v כאשר 0 R α )תלות לינארית חיובית(. 77 זהות פולארית ממשית: לכל :v, w V < v, w > = 1 2 ( v + w 2 v 2 w 2 ) 78 זהות פולארית ממשית )צורה נוספת(: לכל,v: w V < v, w > = 1 4 ( v + w 2 v w 2 ) לכל v, w V מתקיים: >) iw.re(< v, w >) = Im(< v, זהות פולארית כללית: לכל,v: w V 79 81 < v, w > = 1 2 ( v + w 2 v 2 w 2 ) + 1 2 ( v + i w 2 v 2 w 2 ) 81 כלל המקבילית: יהי V F/ מרחב מכפלה פנימית ו. מכפלה פנימית מעל V.. הנורמה המושרית ע"י מכפלה פנימית זו. אזי לכל,v w V מתקיים: 2 ( v 2 + w 2 ) = v + w 2 + v w 2 אם. מקיימת את כלל המקבילית, אזי. מושרית ממכפלה פנימית.. לכל.v 0 :v V 82 83 6

לכל :v, w V אם,v w אז:.w v לכל v, w V ולכל :α, β F אם,v w אז:.α v β w אם S V קבוצה אורתוגונלית ו - S 0, אז S בלתי תלויה לינארית. כל קבוצה אורתונורמלית היא בלתי תלויה לינארית. יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהי B בסיס עבור V. G B מטריצת גראם יחסית לבסיס B. 84 85 86 87 88 α 1 β 1 יהיו.v, w V אם: ) ( = B,[v] B = ( ), [w] אזי: α n β n n n < v, w > = α i β j g ij i=1 j=1 = [v] t B G B [w] B יהי V מרחב מכפלה פנימית, יהיו,B B בסיסים עבור V. יהיו G B, G B מטריצות גראם יחסית לבסיסים ו P מטריצת המעבר בין הבסיסים. אזי:.G B = P t G B P יהי V מרחב מכפלה פנימית, יהיו,B B בסיסים עבור V. יהיו G B, G B מטריצות גראם יחסית לבסיסים. אזי: אם G B הפיכה, אזי גם G B הפיכה. יהי.F = R יהי V מרחב מכפלה פנימית, יהיו B, B בסיסים עבור.V יהיו G B, G B מטריצות גראם יחסית לבסיסים. אם: > 0 ) B.det(G אזי: > 0 B ).det(g יהי V מרחב מכפלה פנימית. יהי } n B = {v 1,, v בסיס אורתונורמלי של.V יהי.v V α 1 נסמן [v] B את ההצגה של v יחסית לבסיס.[v] B = ( ) :B אזי = < i i n α 1 α n.v, v i > משפט פיתגורס: יהי V מרחב מכפלה פנימית. יהי B בסיס אורתונורמלי. יהי v. V נסמן: 89 91 91 92 93 α 1.[v] B = ( ) α n אזי: 2 n. v 2 = α 1 2 + + α יהי V מרחב מכפלה פנימית. אם,B B בסיסים אורתוגונליים אזי מטריצת המעבר P היא מטריצה אוניטרית. P מטריצה אוניטרית. אזי: F. n מהוות בסיס אורתונורמלי של P השורות של F. n מהוות בסיס אורתונורמלי של P העמודות של 94 95 להיפך, אם אחד מהתנאים הנ"ל מתקיים, אזי P אוניטרית. 7

יהי V מרחב מכפלה פנימית. S V קבוצה. אזי: S V הוא תת מרחב ווקטורי של π S : V W.S = (span(s)) יהי V מרחב מכפלה פנימית. S V קבוצה. אזי: W V V /F.V יהי העתקה לינארית. מרחב מכפלה פנימית. יהי תת מרחב ווקטורי. אזי: יהי V F/ מרחב מכפלה פנימית. יהי W V תת מרחב, k. = dimw יהי היא.π S (v) = v v W אזי:.v V יהי.W בסיס אורתוגונלי של S = {w 1,, w k } 111 יהי V מרחב מכפלה פנימית. יהי.v V אזי: W.z = v π S (v) 96 97 98 99 111 תהליך גראם שמידט. ראה הרצאה 18. 112 כל קבוצה אורתונורמלית ניתנת להשלמה עד לבסיס אורתונורמלי. 113 אי שוויון בסל: יהי V מרחב מכפלה פנימית. } k e} 1,, e קבוצה אורתונורמלית. יהי.v V נסמן > i i k( α i = < v, e.)1 אזי מתקים אי-שוויון:.v span{e שוויון מתקיים אם ורק אם. v 2 α 1 2 + + α k 2 1, e k } 114 יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהי W V תת מרחב. יהי } n B = {v 1,, v k, v k+1,, v בסיס אורתוגונלי עבור.V יהי } k.w = span{v 1,, v אזי: } n.w = span{v k+1,, v.w = (W ) 115 116 משפט הפירוק הניצב: יהי V מרחב מכפלה פנימית. לכל W, V מתקיים:.V = W W 117 יהי V מרחב מכפלה פנימית. יהי v. V ההיטל של v על W אינו תלוי בחירה של בסיס אורתוגונלי של W. 118 תכונות של מרחק: יהי V מרחב מכפלה פנימית. אזי, מתקיים: לכל d(v, w) R 0 :v, w V ו - 0 = w).v = w d(v, לכל.d(v, w) = d(w, v) :v, w V לכל.d(v, u) d(v, w) + d(w, u) :v, w, u V 119 יהי V מרחב מכפלה פנימית. יהי Wתת V מרחב ווקטורי. יהי v. V אזי:.d(v, π W (v)) = min{d(v, w): w W} 111 יהיו V, W מרחבי מכפלה פנימית מעל אותו שדה.F נסמן:.dimV = n, dimw = m T: V W העתקה לינארית. ההעתקה הצמודה ל -,T,T : W V מקיימת לכל. T(v), w = v, T (w) :w W ולכל v V T : W V 111 קיימת ויחידה. 112 T : W V העתקה הצמודה ל - W.T: V יהיו: } m B = {v 1,, v n }, B = {w 1,, w בסיסים אורתונורמליים עבור.V, W 8

נסמן ב - A,A את המטריצות המייצגות של T,T ביחס לבסיסים B,B. אזי: ) A t.a = A (= 113 תכונות של ההעתקה הצמודה: יהי V מרחב מכפלה פנימית. לכל.(T + S) = T + S :T, S: V V לכל T: V V ולכל.(αT) = α T :α F לכל.(T ) = T :T: V V לכל.(T S) = S T :T, S: V V 114 יהי V מרחב מכפלה פנימית. יהי :T V V אופרטור לינארי. נבחר בסיס אורתונורמלי B של.A = [T] B ונתבונן במטריצה המייצגת,V T נורמלי A נורמלית. T אוניטרי A אוניטרית. T צמוד לעצמו A צמודה לעצמה.. T(v) = T (v) מתקיים v V אופרטור נורמלי לכל T: V V 115 T: V V אופרטור אוניטרי.. T(v) = v :v V שומר נורמה, כלומר: לכל T 116 התכונות הבאות שקולות:.d(T(v), T(w)) = d(v, w) :v, w V שומר מרחק, כלומר: לכל T.< T(v), T(w) > = < v, w > :v, w V שומר מכפלה פנימית, כלומר: לכל T 117 יהי.F = R אופרטור אוניטרי שומר זוויות, כלומר:. T(v), T(w) = v, w 118 יהי T: V V אופרטור נורמלי. יהי λ F ערך עצמי של.T יהי v V ווקטור עצמי של,T המתאים לערך העצמי.λ אזי: אזי,.T (v) = λ v 119 אם :T V V אופרטור נורמלי,,λ μ ערכים עצמיים שונים של v T, ווקטור עצמי של T המתאים לערך העצמי w λ, ווקטור עצמי של T המתאים לערך העצמי μ, אז: v. w 121 אם :T V V אופרטור צמוד לעצמו, אזי כל הערכים העצמיים של T ממשיים. 121 אם F, = R ואם T אופרטור סימטרי )אופרטור צמוד לעצמו(, אזי (x) p T מתפרק לגורמים לינאריים. 122 אם T: V V אופרטור אוניטרי, ואם λ ערך עצמי של,T אזי = 1. λ 123 אם,F = R ואם T אופרטור אורתוגונלי )אופרטור אוניטרי(, אזי = ±1.λ p T (x) 124 שילוש אוניטרי לאופרטורים: כל אופרטור :T, V V כך ש - מתפרק לגורמים לינאריים, ניתן לשילוש אוניטרי, ז"א, קיים בסיס אורתונורמלי B של V כך ש - B A = [T] משולשת עליונה. 9

p A0 (x) - 125 שילוש אוניטרי למטריצות: A 0 מטריצה ריבועית כך ש מתפרק לגורמים לינאריים. אזי קיימת מטריצה אוניטרית P כך ש - P A = P 1 A 0 משולשת עליונה. 126 אם A מטריצה משולשת ונורמלית, אז A אלכסונית. 127 לכסון אוניטרי לאופרטורים: יהי :T V V אופרטור נורמלי כך ש - (x) p T מתפרק לגורמים לינאריים. אזי T ניתן ללכסון אוניטרי, ז"א, קיים בסיס אורתונורמלי של B V, כך ש - A = [T] B היא מטריצה אלכסונית. 128 לכסון אוניטרי למטריצות: לינאריים. אזי A מטריצה נורמלית כך ש p A (x) - A ניתנת ללכסון אוניטרי, ז"א, קיימת מטריצה אוניטרית מתפרק לגורמים - כך ש P D = P 1 A P מטריצה אלכסונית. 129 אם T ניתן ללכסון אוניטרי, אזי (x) p T מתפרק לגורמים לינאריים ו T אופרטור נורמלי. 131 אם A ניתנת ללכסון אוניטרי, אזי (x) p A מתפרק לגורמים לינאריים ו A מטריצה נורמלית. 131 יהי T: V V אופרטור צמוד לעצמו. אזי T אורתונורמלי B עבור V כך ש - B A = [T] מטריצה אלכסונית. ניתן ללכסון אורתוגונלי, ז"א, קיים בסיס 132 A מטריצה סימטרית ממשית. אזי, A ניתנת ללכסון אורתוגונלי, ז"א, קיימת מטריצה אורתוגונלית P כך ש - P D = P 1 A מטריצה אלכסונית. 133 אם A ניתנת ללכסון אורתוגונלי, אזי A מטריצה סימטרית. 134 נניח ש A מטריצה ממשית כך ש- (x) p A מתפרק לגורמים לינאריים. אזי: A נורמלית אם ורק אם A סימטרית. 135 משפט הפירוק הספקטרלי: יהי לגורמים לינאריים. יהיו T: V V אופרטור נורמלי. נניח ש p T (x) - λ 1,, λ s המתאים לערך העצמי λ. i ערכים עצמיים שונים של V i = V λi נסמן.T אזי:,V = V 1 V s ובנוסף V i V j לכל i j s.1 מתפרק המרחב העצמי של T 10